Mini-projet: le pendule

Approximation des petits angles

On considère le pendule simple de la figure ci-dessus, dont l’équation du mouvement libre s’écrit:

\[\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+q\frac{d\theta}{dt}+\Omega^{2}\sin\theta=0\quad\mathrm{\quad avec\,\,}\sin\theta\simeq\theta\quad\rightarrow\quad\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+q\frac{d\theta}{dt}+\Omega^{2}\theta=0\]

où \(\theta\) est l’angle que fait le pendule par rapport à la verticale, \(\Omega=\sqrt{{g/l}}\) est la pulsation propre et \(q\) est le terme de frottement fluide. On utilisera par commodité la valeur suivante: \(\Omega=1\) \(\mathrm{{rad.}}\mathrm{{s}^{-1}}\).

Résolvez cette équation linéarisée (\(\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+q\frac{d\theta}{dt}+\Omega^{2}\theta=0\) avec la méthode RK4 pour différentes valeurs de l’amortissement: \(q=1\), \(q=2\), \(q=5\) \(s^{-1}\) et tracez sur un même graphe l’évolution de \(\theta(t)\) dans ces régimes respectivement pseudo-périodique, critique et apériodique. On prendra comme conditions initiales \(\theta(t=0)=10^{\circ}\) (à convertir en radian) et \(\frac{d\theta}{dt}(t=0)=0\) et un pas de temps \(dt=0.05\)s pour \(t\) allant de \(0\) à \(20\)s.

Force d’excitation

On ajoute maintenant une force d’excitation au pendule de sorte que l’équation du mouvement s’écrive:

\[\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+q\frac{d\theta}{dt}+\Omega^{2}\theta=F_{e}\sin(\Omega_{e}t).\]

Résolvez cette nouvelle équation avec la méthode RK4 pour une force excitatrice d’intensité \(F_{e}=1\) \(\mathrm{rad.{s}^{-2}}\) et de pulsation \(\Omega_{e}=2\Omega/3\). Tracez sur un même graphe la trajectoire dans l’espace des phase \((\theta,\frac{d\theta}{dt})\) pour le pendule libre (\(q=0\) et \(F_{e}=0\)), amorti (\(\text{q=1 et }F_{e}=0)\), et amorti avec excitation \((\text{q=1 et }F_{e}=1)\). On prendra toujours comme conditions initiales \(\theta(t=0)=10^{\circ}\) (à convertir en radian) et \(\frac{d\theta}{dt}(t=0)=0\). Commentez la forme des trajectoires que vous observez.

Mouvement chaotique

Lorsque l’on ne fait plus l’hypothèse des petits angles (\(\sin\theta\simeq\theta\)), on obtient une équation différentielle d’ordre 2 qui n’est pas linéaire:

\[\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+q\frac{d\theta}{dt}+\Omega^{2}\sin\theta=F_{e}\sin(\Omega_{e}t).\]

Pour certaines valeurs des paramètres physiques, le comportement du pendule sera chaotique. Afin d’illustrer ce comportement, on se placera dans les conditions suivantes: \(\theta(t=0)=10^{\circ}\) (à convertir en radian) et \(\frac{d\theta}{dt}(t=0)=0\), \(\Omega_{e}=2\Omega/3\), \(q=0.5\) \(s^{-1}\).

Résolvez l’équation du mouvement non-linéaire avec la méthode RK4 pour les valeurs suivantes de l’amplitude d’excitation \(F_{e}=\{1.4,1.44,1.465,1.5\}\) rad.s\(^{-2}\) et tracez \(\theta(t)\) sur un temps de \(100\)s. Ajouter deux tests if dans la boucle après l’appel à rk4 pour maintenir l’angle \(\theta\) dans l’intervalle \([-\pi;\pi]\). Que constatez-vous au sujet de la période du pendule? (attention, périodique\(\neq\)sinusoïdal…)

Dans le cas \(F_{e}=1.5\) rad.s\(^{-2}\), calculez l’évolution de \(\theta(t)\) pour deux conditions initiales très proches l’une de l’autre: \(\theta(t=0)=10^{\circ}\) et \(\theta(t=0)=9.999^{\circ}\). Tracez la valeur absolue de la différence entre les deux solutions en fonctions du temps en échelle semi-logarithmique.